Διερεύνηση προβλεψιμότητας των ακολουθιών των τετραγώνων αριθμών τύπου Χ*10ν + … + Χ*102 + Χ*101 + Χ

Ἀπόστολος Βρανᾶς, M.Ed.

Εἰδικὴ Διαπαιδαγώγηση/Ὑποστήριξη Ἐκμάθησης Ἀγγλικῆς Γλώσσας

ΜΑΘΗΣΙΑΚΗ ΑΡΩΓΗ (www.facebook.com/Mathisiaki-Arogi)

Ι) Εἰσαγωγή

Κάπου στὸ Διαδίκτυο, εἶχα βρεῖ τὸ ἀκόλουθο ὡς ἀξιοπερίεργο (καὶ εἶναι, τουλάχιστον στὰ δικά μου μάτια ὡς ἀδαοῦς ἐρασιτέχνη λάτρη τῶν μαθηματικῶν …):

Πέραν αὐτῆς τῆς ἀξιοθαύμαστης καὶ τόσο συμμετρικῆς ἀκολουθίας, τὸ κύριο ἔναυσμα γιὰ τὴν παροῦσα διερεύνηση ἦταν ὁ πρακτικὸς ‘κανόνας’ ποὺ μᾶς εἶχε δοθεῖ ἀπὸ ἕνα καθηγητή (φιλόλογο!!!) στὸ σχολεῖο σχετικὰ μὲ τὰ 15², 25², 35², … (Χ*10+5)², ὅπου πολλαπλασιάζονται τὸ Χ μὲ τὸ Χ + 1 καὶ ἐπικολλᾶται τὸ 25: Χ*(Χ+1)*100+25· ἔτσι τὸ 35², χωρὶς ἀριθμομηχανή, μολύβι καὶ χαρτί, ὑπολογίζεται σὲ 3*4 = 12 καὶ ἀπὸ πίσω ἐπικολλᾶται τὸ 25, δηλαδή, 1225.  ‘Μαγικό’!  Ἀπόλυτα ἐξηγήσιμο μαθηματικὰ ἀλλὰ ταυτόχρονα ‘μαγικό’, διότι ἁπλοποιεῖ τὶς ἀπαιτούμενες πράξεις.

Μήπως καὶ τὰ 2*2, 22*22, 222*222, …, 3*3, 33*33, 333*333, … ἀκολουθοῦν κι αὐτὰ κάποιον πρακτικὸ κανόνα ποὺ νὰ εἶναι εὔκολα ἀπομνημονεύσιμος;  Ὁτιδήποτε μπορεῖ νὰ διευκολύνει τοὺς ὑπολογισμοὺς ἢ/καὶ νὰ ἐρεθίσει τὴ μαθηματικὴ σκέψη ἑνὸς παιδιοῦ, πολλῷ δὲ μᾶλλον ἑνὸς παιδιοῦ μὲ εἰδικὲς μαθησιακὲς/ἀναπτυξιακὲς δυσκολίες, θὰ ἦταν προφανῶς εὐπρόσδεκτο!

ΙΙ) Θεωρία Μνήμης καὶ Μνημονικῶν Κανόνων

ΙΙ.ι) Μνήμη

Ἡ μνήμη ὁρίζεται ὡς ἡ ἐγκεφαλικὴ λειτουργία κατὰ τὴν ὁποῖα στοιχεῖα καὶ πληροφορίες κωδικοποιοῦνται, ἀποθηκεύονται καὶ ἀργότερα ἀνακτῶνται γιὰ τὴν πρέπουσα χρήση.  Προφανῶς, ἐὰν δὲν ὑπῆρχε ἡ δυνατότητα τῆς μνήμης ἐγκατεστημένη ἐκ γενετῆς στὸν ἐγκέφαλο, τὸ χτίσιμο τῆς προσωπικῆς ταυτότητας, ἡ ὁποιαδήποτε ἐκμάθηση καὶ ἡ δόμηση τοῦ κοινωνικοῦ συνόλου θὰ ἦταν στὴ σφαῖρα τοῦ ἀδυνάτου! (Eysenck, 2012 καὶ Sherwood, 2015)

ΙΙ.ιι) Μνημονικοὶ Κανόνες/Βοηθήματα

Ὑπάρχει πληθώρα μνημονικῶν κανόνων καὶ βοηθημάτων οἱ ὁποῖοι ἔχουν δημιουργηθεῖ για νὰ διευκολύνουν τὴ μάθηση.  Παραδείγματα αὐτῶν εἶναι ι) τραγούδια βοηθήματα (ὅπως αὐτὸ μὲ τὸ ὁποῖο μαθαίνουμε τὰ γράμματα τοῦ ἀγγλικοῦ ἀλφαβήτου), ιι) ἀκρωνύμια (ὅπως τὸ ξεκαρδιστικὸ S.I.N.G. (solarplex – instep – nose – genitals ἢ ἡλιακὸ πλέγμα/διάφραγμα – ἐσωτερικὸ τοῦ ποδιοῦ – μύτη – γεννητικὰ ὄργανα)  γιὰ αὐτοάμυνα – ἀπὸ τὸ ‘Μὶς μὲ τὸ Ζόρι’ μὲ τὴ Σάντρα Μπούλλοκ – δεῖτε ἐδῶ: www.youtube.com/watch?v=idlBj5sivrQ), ιιι) φράσεις μὲ τὸ ἀρκτικὸ γρᾶμμα τῆς κάθε λέξης (ὅπως ἡ φράση Richard Of York Gave Battle In Vain γιὰ νὰ θυμοῦνται τὰ ἐγγλεζόπουλα τὰ χρώματα τῆς ἴριδας μὲ τὴ σειρά: red, orange, yellow, green, blue, indigo violet ἢ κόκκινο, πορτοκαλί, κίτρινο, πράσινο, γαλάζιο, σκοῦρο μπλέ καὶ μώβ), ιν) ὑπενθυμιστικὰ μοντέλα (ὅπως αὐτὸ μὲ τὰ δύο χέρια ὅπου οἱ ἀρθρώσεις τῶν δακτύλων ὑπενθυμίζουν ποιοὶ μῆνες ἔχουν 31 μέρες ἢ τὸ βυζαντινοπρεπὲς ρητὸ ‘Ἀεὶ ὁ Θεὸς ὁ μέγας γεωμετρεῖ’, ὅπου οἱ ἀριθμοὶ τῶν γραμμάτων τῶν λέξεων δίνουν τὸ π: 3.14159…), ν) ποιήματα ὑπενθύμισης (ὅπως αὐτὸ τῶν δασυνόμενων λέξεων στὴν πολυτονικὴ ἑλληνικὴ γραφή: Ἅδης, ἅγιος, ἁγνός, / ἁπαλός, ἁβρός, ἁδρός, / …), νι) βοηθήματα ὀργάνωσης (ὅπως καρτέλλες (π.χ., γιὰ νέο λεξιλόγιο) ἢ λίστες ἢ ἄλλα διαγράμματα), νιι) φωτογραφικὰ ἢ ἀπεικονιστικὰ βοηθήματα, νιιι) συνδετικὰ βοηθήματα (ὅπως τὸ νὰ θυμόμαστε μὲ βάση τὶς γνωστὲς μάχες τῶν Θερμοπυλῶν τοῦ 480 π.Χ. καὶ τῆς Γέφυρας τῆς Ἀλαμάνας τοῦ 1821 ὅτι στὴν ἴδια περιοχὴ τοῦ Σπερχειοῦ ἔγιναν καὶ ἄλλες δύο μάχες, αὐτὴ ἐναντίων τῶν Κελτῶν τοῦ Βρέννου τὸ 279 π.Χ.  (κακῶς ὀνομαζόμενων ‘Ἀλαμανοί’ – τὸ λάθος ὅμως ἔδωσε τὴ λαϊκὴ ὀνομασία τοῦ ποταμοῦ) καὶ λίγο παραπέρα ἡ συντριβὴ τοῦ Τσάρου Σαμουήλ τὸ 995 μ.Χ.) καὶ ιx) ὀρθογραφικὰ βοηθήματα (ὅπως ὁ παρακάτω ἀναφερόμενος τρόπος ὑπενθύμισης τῆς ὀρθογραφίας τῆς κατάληξης –ετε ἢ –εται). (University of Central Florida)

Οἱ μνημονικοὶ κανόνες εἶναι βοηθήματα ἢ τεχνικὲς ποὺ βοηθοῦν στὴν ἀνάκτηση γνώσεων ἢ στὴ γοργὴ ἀνεύρεση ἀποτελεσμάτων. (Carlson et al, 1984)  Γιὰ τοὺς λόγους τῆς παρούσας ἔρευνας, μποροῦμε νὰ χωρίσουμε – σχετικὰ αὐθαίρετα –τοὺς μνημονικοὺς κανόνες καὶ βοηθήματα σὲ τρεῖς βασικὲς κατηγορίες: τοὺς Κανόνες Παπαγαλίας, τοὺς Κανόνες Τυφλοσοῦρτες καὶ τοὺς Κανόνες ποὺ Ἀπαιτοῦν Σκέψη.

ΙΙ.ιι.α) Κανόνες Παπαγαλίας

Αύτοὶ οἱ κανόνες περιλαμβάνουν γνώσεις ποὺ τὶς μαθαίνουμε διὰ ἀπομνημόνευσης καὶ τὶς ἐνδυναμώνουμε μὲ τὴ συχνή τους χρήση.

Τυπικὰ παραδείγματα, εἶναι ἡ προπαίδεια στὸν πολλαπλασιασμό, ὅπου ὅλοι μας μαθαίνουμε αὐτόματα τὸ πλέγμα 1 ἔως 10 ἐπὶ 1 ἔως 10, κάποιοι βασικοὶ κανόνες πολυτονισμοῦ στὴν Ἑλληνικὴ γλῶσσα, ὅπως ‘μακρὰ παραλήγουσα πρὸ μακρᾶς λήγουσας ὀξύνεται’ καὶ ‘μακρὰ παραλήγουσα πρὸ βραχείας λήγουσας περισπᾶται’· τὸ πρῶτο παράδειγμα εἶναι κάτι ποὺ μερικῶς ἐξηγεῖται ἀλλὰ σὲ κατοπινότερο στάδιο μάθησης (π.χ., ‘ὅλα τὰ πολλαπλάσια τοῦ 2 πρέπει νὰ εἶναι ζυγοὶ ἀριθμοί’, ‘ὅλα τὰ πολλαπλάσια τοῦ 5 πρέπει νὰ τελειώνουν σὲ 5 ἢ 0’ – ἐνῶ ἀκολουθίες πολλαπλασίων ἄλλων ἀριθμῶν, ὅπως τοῦ 7, εἶναι ἀξιωματικοῦ τύπου καὶ ἁπλῶς ἀπομνημονεύονται) ἐνῶ τὸ δεύτερο εἶναι γιὰ τὸ μαθητὴ καθαρὰ ἀξιωματικὸς κανόνας καθὼς δὲν ὑπάρχει τρόπος νὰ τοῦ ἐξηγηθεῖ γιὰ ποιὸ λόγο συμβαίνει αὐτό.

ΙΙ.ιι.β) Κανόνες Τυφλοσοῦρτες

Αὐτοὶ οἱ κανόνες περιλαμβάνουν γνώσεις ποὺ ἀπαιτοῦν ἕνα βασικὸ ὑπόβαθρο λογικῆς καὶ μετὰ ἀπομνημονεύονται καὶ ἐνισχύονται διὰ τῆς συχνῆς τους χρήσης.

Τυπικὸ παράδειγμα, θὰ μποροῦσε νὰ εἶναι ἡ ἀκολουθία τῶν δυνάμεων τοῦ 10, ὅπου ἡ κατανόηση τῆς ταύτισης ἐκθέτη καὶ ‘ἀριθμοῦ’ μηδενικῶν στὸ ἀποτέλεσμα (10²=100 – 2, ἄρα καὶ 2 μηδενικά, 10³=1,000 – 3, ἄρα καὶ 3 μηδενικά, 10⁴=10,000 – 4, ἄρα καὶ 4 μηδενικά, 10⁵=100,000 – 5, ἄρα καὶ 5 μηδενικά, 10⁶=1,000,000 – 6, ἄρα καὶ 6 μηδενικά, …) ἐπιτρέπει στὸ μαθητὴ τὸ γρήγορο ὑπολογισμὸ τοῦ ἀριθμοῦ χωρὶς νὰ κάνει πράξεις καὶ στὴν Ἑλληνικὴ γλῶσσα ὁ ὀρθογραφικὸς διαχωρισμὸς τῶν ὁμοιοπρόφερτων καταλήξεων –εται καὶ –ετε (τρίτο ἑνικὸ καὶ δεύτερο πληθυντικὸ πρόσωπα, ἀντίστοιχα) γίνεται ἐπὶ τῇ βάσει τῆς φωνῆς τοῦ ρήματος (παθητικὴ καὶ ἐνεργητική, ἀντίστοιχα).

Ἐὰν ἡ ὅλη ‘ἰδέα’ τῶν δυνάμεων εἶναι ἀσαφῶς καταγεγραμμένη στὸ μυαλὸ τοῦ/ῆς μαθητῆ/ήτριας ἢ δυσκολεύεται νὰ διαχωρίσει στὸ μυαλό του/της τὶς δύο φωνὲς τῶν ρημάτων (ἢ τὸ ὅποιο ἄλλο γνωσιακὸ καὶ λογικὸ ὑπόβαθρο ἀπαιτεῖται), τότε ἡ χρήση τῶν κανόνων καθίσταται προβληματικὴ ἢ ἀναποτελεσματική.

ΙΙ.ιι.γ) Κανόνες ποὺ Ἀπαιτοῦν Σκέψη

Αὐτοὶ οἱ κανόνες άπαιτοῦν μεστὴ γνώση καὶ στέρεο ὑπόβαθρο λογικῆς καὶ μετὰ ἀπομνημονεύονται – ἕνα πρόβλημά τους εἶναι ὅτι δὲν χρησιμοποιοῦνται τόσο συχνά· οἱ περισσότεροι εἶναι ἐξηγήσιμοι καί, ὅντως, τὸ σχολικὸ πρόγραμμα σὲ ὑψηλότερα ἐπίπεδα ἀναλύει ἀρκετοὺς ἀπὸ αὐτούς.

Τυπικὰ παραδείγματα ἀποτελοῦν τὸ ἀναφερθὲν στὴν ἀρχὴ μὲ τὰ τετράγωνα τῶν ἀριθμῶν ποὺ τελειώνουν σὲ 5, ὁ τύπος γιὰ τὴν ἀνεύρεση τῶν ριζῶν τῶν δευτεροβάθμιων ἐξισώσεων x₁,x₂=[–β±√(β²–4αγ)]/2α καὶ ὁ κανόνας διαχωρισμοῦ ὁμοίων μορφολογικὰ ἀντικειμένων καὶ κατηγορούμενων στὸ θηλυκὸ καὶ στὸ οὐδέτερο γένος (‘Υἱοθέτησε σκύλα γιὰ νὰ ἔχει καὶ κουταβάκια μετά.’, ‘Τὸ νεογέννητο ποὺ διάλεξε ἦταν σκύλα.’, ‘Ἔκανε ἀγόρι αὐτὴν τὴ φορά.’ καὶ ‘Τὸ παιδὶ ποὺ περιμένει τώρα θὰ βγεῖ ἀγόρι κατὰ τὸν ὑπέρηχο.’, ἀντίστοιχα.) μὲ τὴν πειραματικὴ ἀντικατάστασή τους ἀπὸ κάτι ταιριαστὸ ἀρσενικοῦ γένους (π.χ., ‘σκύλο’, ‘σκύλος’, ‘γιό’ καὶ ‘γιός’, ἀντίστοιχα, στὰ δεδομένα παραδείγματα), καθὼς στὰ ἀρσενικὰ οἱ καταλήξεις ὀνομαστικῆς καὶ αἰτιατικῆς διαφέρουν.

Λογικὸ συνεπακόλουθο αὐτῶν εἶναι τὸ ὅτι, ἐὰν ὁ/ἡ μαθητὴς/ήτρια δὲν κατέχει βασικὲς γνώσεις πολλαπλασιασμοῦ, ἐπιλογῆς τῶν α, β καὶ γ καὶ τῶν συνεπειῶν τῆς θετικῆς, μηδενικῆς ἢ ἀρνητικῆς διακρίνουσας (β²–4αγ) καὶ τὴ δυνατότητα ἀνεύρεσης κάτι ἀντίστοιχου ἀρσενικοῦ γένους καὶ τὶς σχέσεις ἀντικείμενου/αἰτιατικῆς καὶ κατηγορούμενου/ὀνομαστικῆς (ἢ τὸ ὅποιο ἄλλο γνωσιακὸ καὶ λογικὸ ὑπόβαθρο ἀπαιτεῖται), τότε ἡ γνώση τοῦ κανόνα αὐτοῦ καθ’ἑαυτοῦ διευκολύνει ἀπὸ λίγο ἔως καθόλου.

ΙΙ.ιιι) Μνημονικοὶ Κανόνες καὶ Μαθητὲς μὲ Μὴ Ἐπαρκῶς Καλλιεργημένη/Ἀδύναμη Μνήμη

Παρότι τὰ μὴ λογικῆς βάσης μνημονικὰ βοηθήματα μπορεῖ νὰ μὴν εἶναι τὰ πλέον κατάλληλα γιὰ μαθητὲς μὲ ἀδύναμη μνήμη, αὐτὰ τὰ ὁποῖα ἐμπλέκουν τὴ λογικὴ προφανῶς ἀποδίδουν περισσότερο, λόγῳ τῆς ἀληλοστήριξης μνήμης καὶ λογικῆς.  Σίγουρα ὅμως πρέπει ἡ χρήση τους νὰ εἶναι κατὰ περίπτωση καὶ ὄχι γενικευμένη πρακτική. (pdfs.semanticscholar.org/8212/c386502bbb57fac01e6676e39e1717b68edf.pdf καὶ www.edubloxtutor.com/memory-techniques-not-answer-memory-challenges/)

ΙΙΙ) Διερεύνηση

Προφανῶς, οἱ ἀκολουθίες 2, 22, 222, 2222, … καὶ 3, 33, 333, 3333, … καὶ οἱ ἄλλες τοῦ τύπου x, (x*10¹+x), (x*10²+x*10¹+Χ), …, (x*10^ν+…+x*10²+x*10¹+x) ἀποτελοῦν 9 ξεχωριστὲς ἀκολουθίες καθὼς ὑπάρχουν 10 ψηφία στὸ δεκαδικὸ σύστημα, ἐκ τῶν ὁποῖων τὸ 0 θὰ δημιουργοῦσε μία ἀκολουθία μηδενικῶν ἄνευ ἐνδιαφέροντος (ὑψούμενο στὴν ὁποιαδήποτε δύναμη, ἔχει ὡς ἀποτέλεσμα τὸν ἑαυτό του).  Ἡ διατύπωση τοῦ ὅποιου κανόνα σχετικὰ μὲ τὰ τετράγωνα αὐτῶν τῶν ἀκολουθιῶν θὰ ἐντασσόταν στὴν τρίτη αναφερθεῖσα κατηγορία, αὐτὴν τῶν κανόνων ποὺ ἀπαιτοῦν σκέψη.

Μία γρήγορη ἐπισκόπηση τὰ χωρίζει σὲ δύο ὁμάδες: τὰ ‘εὐκολάκια’ καὶ τὰ ‘στριφνά’, γιὰ νὰ χρησιμοποιήσουμε ὀνόματα εὐπρόσιτα στοὺς μαθητές.  Τἀ ‘εὐκολάκια’ εἶναι οἱ ἀκολουθίες τῶν ψηφίων 1 (σὲ μία προβλέψιμη ὑποκατηγορία μόνη της) καὶ 3, 6 καὶ 9 (ποὺ προβλέψιμα παράγουν ἀποτελέσματα ποὺ χρησιμοποιοῦν μόνο 4 ψηφία, κάτι σὰν (Α … ΑΑ)Β(Γ … ΓΓ)Δ), ἐνῶ τὰ ‘στριφνὰ’ εἶναι οἱ ὑπόλοιπες πέντε: 2, 4, 5, 7, καὶ 8.

ΙΙΙ.ι) Τἂ ‘Εὐκολάκια’

Καθότι προβλέψιμα, μποροῦν νὰ ἀποδώσουν μνημονικοὺς κανόνες ποὺ νὰ εἶναι χρήσιμοι γιὰ ὅποιον χρειάζεται αὐτὰ τὰ τετράγωνα.

ΙΙΙ.ι.α) Πρῶτα ἐξετάζεται ἡ ἀκολουθία τοῦ 1.

x	x2
1	1
11	121
111	12,321
1,111	1,234,321
11,111	123,454,321
111,111	12,345,654,321
1,111,111	1,234,567,654,321
11,111,111	123,456,787,654,321
111,111,111	12,345,678,987,654,321

Μνημονικὸς κανόνας: Μετρᾶμε πόσους ἄσσους ἔχει ὁ ἀριθμὸς ποὺ θέλουμε νὰ ὑψώσουμε στὸ τετράγωνο (ἔστω 5 γιὰ τὸ 11,111) καὶ φτιάχνουμε ἕναν ἀρθμὸ ποὺ ἀρχίζει ἀπὸ τὸ 1, μετὰ τὸ 2, καὶ προσθέτουμε 1 κάθε φορὰ μέχρι νὰ φτάσουμε στὸ 5 καὶ μετὰ ἀφαιροῦμε 1 κάθε φορὰ μέχρι νὰ φτάσουμε στὸ 1.  Στὸ παράδειγμά μας, 12…54…1: 123,454,321.  Τὸ τετράγωνό μας θὰ ἔχει τὰ διπλάσια μεῖον ἕνα ψηφία τοῦ ἀρχικοῦ μας ἀριθμοῦ (ἐδῶ 9).  Ὁ κανόνας ‘δουλεύει’ γιὰ μέχρι 9 ψηφία – ὄχι περισσότερα!

Μαθηματικὴ διατύπωση:  1*10^2x-1+2*10^2x-2+ … +x*10^x-1+(x-1)*10^x-2+ … +2*10¹+1 γιὰ κάθε 1<Χ≤9, ὅπου x εἶναι ὁ ἀριθμὸς τῶν ψηφίων τῶν ἀριθμῶν ποὺ ὑψώνονται στὸ τετράγωνο.

ΙΙΙ.ι.β) Ἐδῶ ἐξετάζονται οἱ ἀκολουθίες τῶν 3, 6 καὶ 9.

x x2 3 09 33 1,089 333 110,889 3,333 11,108,889 33,333 1,111,088,889 333,333 111,110,888,889 3,333,333 11,111,108,888,889 33,333,333 1,111,111,088,888,889 333,333,333 111,111,110,888,888,889

x x2 6 36 66 4,356 666 443,556 6,666 44,435,556 66,666 4,444,355,556 666,666 444,443,555,556 6,666,666 44,444,435,555,556 66,666,666 4,444,444,355,555,556 666,666,666 444,444,443,555,555,556

x x2 9 81 99 9,801 999 998,001 9,999 99,980,001 99,999 9,999,800,001 999,999 999,998,000,001 9,999,999 99,999,980,000,001 99,999,999 9,999,999,800,000,001 999,999,999 999,999,998,000,000,001

Παρατηρεῖται εὔκολα ὅτι τὰ τετράγωνα ἀποτελοῦνται ἀπὸ μόνο 4 διαφορετικὰ ψηφία, ἀποκαλούμενα ἐδῶ Α, Β, Γ, καὶ Δ (στὶς περιπτώσεις μάλιστα τῶν ἀκολουθιῶν τοῦ 3 καὶ τοῦ 9 εἶναι τὰ ἴδια 4 ψηφία, 0, 1, 8 καὶ 9, ἀνεστραμμένα ὡς πρὸς τὴ σειρὰ ἐμφάνισής τους, ἐνῶ στὴν ἀκολουθία τοῦ 6 εἶναι τὰ ψηφία 3, 4, 5 καὶ 6), τὰ ὁποῖα ὁρίζονται ἀπὸ τὶς σχέσεις Α=Β+1 καὶ Γ=Δ-1.  Τὰ Β καὶ Δ ἐμφανίζονται πάντα ἐνῶ τὰ Α καὶ Γ ἐμφανίζονται ἀπὸ τὸ διψήφιο τῆς κάθε ἀκολουθίας καὶ πέρα.

Μνημονικὸς κανόνας (ἂν καὶ περίπλοκος):  Τὰ Β καὶ Δ τὰ παίρνουμε ἀπὸ τὸ τετράγωνο τοῦ μονοψήφιου ποὺ εἶναι γνωστὸ σὲ ὅλους μας.  Προσθέτουμε στὰ πολυψήφια τὸ Α καὶ τὸ Γ Χ-1 φορές, ἀπὸ τὸ διψήφιο τῆς κάθε ἀκολουθίας καὶ πέρα.  Ἔτσι, γιὰ τὸ 99,999 (Χ=5), ξεκινοῦμε ξέροντας ὅτι 9²=81, ἄρα Α=9, Β=8, Γ=0 καὶ Δ=1· 9999 (4 φορές), 8, 0000 (4 φορές) καὶ 1 δίνουν κάνουν 9,999,800,001.  Τὸ τετράγωνό μας θὰ ἔχει τὰ διπλάσια ψηφία τοῦ ἀρχικοῦ μας ἀριθμοῦ (ἐδῶ 10).

Μαθηματικὴ διατύπωση: ξεκινοῦμε πάλι ξέροντας ὅτι 3²=09, 6²=36 καὶ 9²=81, ἄρα καθορίζονται τὰ Β καὶ Δ καὶ μετὰ τὰ Α καὶ Γ καὶ τὰ ἐφαρμόζουμε στὸν τύπο:

            (Α_Χ-1*10^2Χ+Α _Χ-2*10^2Χ-2+ … +Α₁*10^Χ+2)+Β*10^Χ+1+(Γ_Χ-1*10^Χ+Γ_Χ-2*10^Χ-1+ … +Γ₁*10)+Δ

            Οἱ τρεῖς αὐτὲς ἀκολουθίες ἐκτείνονται καὶ πέραν τοῦ Χ=9 ποὺ δείχνει ὁ πίνακας (οἱ κανόνες λειτουργοῦν καὶ γιὰ τὰ τετράγωνα ἀριθμῶν πέραν τῶν 9 ψηφίων).  Ἔτσι, ἐνδεικτικά: 3,333,333,333² = 11,111,111,108,888,888,889, 666,666,666,666² = 444,444,444,443,555,555,555,556 καὶ 999,999,999,999,999² = 999,999,999,999,998,000,000,000,000,001.

Τὸ ἀξιοπερίεργο αὐτῆς τῆς ὑποκατηγορίας εἶναι ὅτι τὰ 3, 6 καὶ 9 εἶναι τὰ μόνα πολλαπλάσια τοῦ 3 (ἀπὸ τὴν ὁμάδα ἀκεραίων 1 – 9).

ΙΙΙ.ιι)  Τὰ ‘Στριφνά’

Ἐδῶ ἐξετάζονται οἱ ἀκολουθίες ποὺ ἐμπεριέχουν ἕνα ἀπὸ τὰ ὑπόλοιπα ἑννέα ψηφία, τὰ 2, 4 , 5, 7 καὶ 8.

x x2 2 4 22 484 222 49,284 2,222 4,937,284 22,222 493,817,284 222,222 49,382,617,284 2,222,222 4,938,270,617,284 22,222,222 493,827,150,617,284 222,222,222 49,382,715,950,617,284

Δύο πρῶτες παρατηρήσεις γίνονται εὔκολα: ι) Τὰ ψηφία τοῦ κάθε προηγουμένου τετραγώνου αὐξάνονται κατὰ δύο τὰ ὁποῖα προστίθενται στὶς θέσεις 10^ν καὶ 10^ν+1 μὲ ὅλα τὰ ὑπόλοιπα νὰ παραμένουν σταθερά καί ιι) οἱ δυάδες αὐτὲς τῶν ‘νεοεισερχομένων’ ψηφίων ἀποτελοῦν μία δυσμνημόνευτη ἀκολουθία: 04, 48, 92, 37, 81, 26 (τὸ 6 τοῦ ὁποίου ὅμως, μὴ ἑρμηνεύσιμα, τρέπεται σὲ 7 στὶς παρακάτω θέσεις), 70, 15 καὶ 59, καθὼς οἱ διαφορές τους εἶναι +44, +44, +45, +44, +45, +44, +45, +44.

x x2 4 16 44 1,936 444 197,136 4,444 19,749,136 44,444 1,975,269,136 444,444 197,530,469,136 4,444,444 19,753,082,469,136 44,444,444 1,975,308,602,469,136 444,444,444 197,530,863,802,469,136

Ὅπως καὶ στὴν ἀκολουθία τοῦ 2: ι) Τὰ ψηφία τοῦ κάθε προηγουμένου τετραγώνου αὐξάνονται κατὰ δύο τὰ ὁποῖα προστίθενται στὶς θέσεις 10^ν καὶ 10^ν+1 μὲ ὅλα τὰ ὑπόλοιπα νὰ παραμένουν σταθερά καί ιι) οἱ δυάδες αὐτὲς τῶν ‘νεοεισερχομένων’ ψηφίων ἀποτελοῦν μία δυσμνημόνευτη ἀκολουθία: 16, 93, 71, 49 (τὸ 4 τοῦ ὁποίου ὅμως, μὴ ἐξηγήσιμα, τρέπεται σὲ 5 στὶς παρακάτω θέσεις), 26 (τὸ 2 τοῦ ὁποίου ὅμως, μὴ ἑρμηνεύσιμα, τρέπεται σὲ 3 στὶς παρακάτω θέσεις), 04, 82, 60 καὶ 38 μὲ τὶς διαφορὲς τους νὰ διαμορφώνονται σὲ -23, -22, -22, -23, -22, -22, -22 καὶ -22.

x x2 5 25 55 3,025 555 308,025 5,555 30,858,025 55,555 3,086,358,025 555,555 308,641,358,025 5,555,555 30,864,191,358,025 55,555,555 3,086,419,691,358,025 555,555,555 308,641,974,691,358,025

Καὶ πάλι: ι) Τὰ ψηφία τοῦ κάθε προηγουμένου τετραγώνου αὐξάνονται κατὰ δύο τὰ ὁποῖα προστίθενται στὶς θέσεις 10^ν καὶ 10^ν+1 μὲ ὅλα τὰ ὑπόλοιπα νὰ παραμένουν σταθερά καί ιι) οἱ δυάδες αὐτὲς τῶν ‘νεοεισερχομένων’ ψηφίων ἀποτελοῦν μία δυσμνημόνευτη ἀκολουθία 25 (ὅπου ὅμως μὴ ἐξηγήσιμα τὸ 2 τρέπεται σὲ 3 στὶς παρακάτω θέσεις), 02, 80, 58 (τὸ 5 τοῦ ὁποίου ὅμως, μὴ ἑρμηνεύσιμα τρέπεται σὲ 6 στὶς παρακάτω θέσεις), 35, 13, 91, 69 (τὸ 6 ὅμως τοῦ ὁποίου, μὴ ἐξηγήσιμα, τρέπεται σὲ 7 στὴν παρακάτω θέση) καὶ 46 μὲ τὶς διαφορὲς τους νὰ διαμορφώνονται σὲ +23, +22, +22, +23, +22, +22, +22, +23.

x x2 7 49 77 5,929 777 603,729 7,777 60,481,729 77,777 6,049,261,729 777,777 604,937,061,729 7,777,777 60,493,815,061,729 77,777,777 6,049,382,595,061,729 777,777,777 604,938,270,395,061,729

Ἄλλη μία φορά: ι) Τὰ ψηφία τοῦ κάθε προηγουμένου τετραγώνου αὐξάνονται κατὰ δύο τὰ ὁποῖα προστίθενται στὶς θέσεις 10^ν καὶ 10^ν+1 μὲ ὅλα τὰ ὑπόλοιπα νὰ παραμένουν σταθερά καί ιι) οἱ δυάδες αὐτὲς τῶν ‘νεοεισερχομένων’ ψηφίων ἀποτελοῦν μία δυσμνημόνευτη ἀκολουθία: 49 (τὸ 4 τοῦ ὁποίου ὅμως ὑπερπαραδόξως μετατρέπεται σὲ 5 στὴν ἑπόμενη σειρὰ καὶ σὲ 6 παρακάτω), 92 (τὸ 9 τρέπεται ἀπὸ τὴν ἑπόμενη σειρὰ σὲ 0), 37 (τὸ 3 αὐξάνεται σὲ 4 ἀπὸ τὴν ἑπόμενη σειρά), 81 (τὸ 8 τρέπεται σὲ 9 στὴν ἑπόμενη σειρά), 26 (τὸ 2 αὐξάνεται σὲ 3), 70 (τὸ 7 τρέπεται σὲ 8), 15 (τὸ 1 αὐξάνεται σὲ 2), 59 (τὸ 5 τρέπεται σὲ 7!) καὶ 03 μὲ τὶς διαφορὲς τους νὰ διαμορφώνονται σὲ +43, +45, +44, +45, +44, +45, +44 καὶ +44.

x x2 8 64 88 7,744 888 788,544 8,888 78,996,544 88,888 7,901,076,544 888,888 790,121,876,544 8,888,888 79,012,329,876,544 88,888,888 7,901,234,409,876,544 888,888,888 790,123,445,209,876,544

Ἡ λογικὴ παραμένει ἡ ἴδια: ι) Τὰ ψηφία τοῦ κάθε προηγουμένου τετραγώνου αὐξάνονται κατὰ δύο τὰ ὁποῖα προστίθενται στὶς θέσεις 10^ν καὶ 10^ν+1 μὲ ὅλα τὰ ὑπόλοιπα νὰ παραμένουν σταθερά καί ιι) οἱ δυάδες αὐτὲς τῶν ‘νεοεισερχομένων’ ψηφίων ἀποτελοῦν μία δυσμνημόνευτη ἀκολουθία: 64 (τὸ 6 τοῦ ὁποίου ὅμως ὑπερπαραδόξως μετατρέπεται σὲ 7 στὴν ἑπόμενη σειρὰ καὶ σὲ 8 παρακάτω), 74 (τὸ 7 τρέπεται ἀπὸ τὴν ἑπόμενη σειρὰ σὲ 8 καὶ ἄλλες δύο σειρὲς παρακάτω σὲ 9), 85 (τὸ 8 τρέπεται σὲ 9 καὶ στὴ μεθεπόμενη σειρά σὲ 0), 96 (τὸ 9 αὐξάνεται σὲ 1 ἀπὸ τὴν ἑπόμενη σειρά), 07 (τὸ 0 τρέπεται σὲ 2 στὴν ἑπόμενη σειρά), 18 (τὸ 1 αὐξάνεται σὲ 3), 29 (τὸ 2 τρέπεται σὲ 4), 40 καὶ 52 μὲ τὶς διαφορὲς τους νὰ διαμορφώνονται σὲ +10, +11, +11, +11, +11, +11, +11 καὶ +12.

            Δὲν καθίσταται δυνατὸν νὰ δομηθεῖ μνημονικὸς κανόνας, εὐμνημόνευτος καί, ἄρα, εὔχρηστος γιὰ τὸ μαθητικὸ κοινό.  Παρότι ἡ βασικὴ δομὴ τῶν ‘στριφνῶν’ ἀκολουθιῶν τῶν τετραγώνων εἶναι ἡ ἴδια (ὁ πρῶτος ἀριθμὸς ‘κόβεται’ στὴ μέση καὶ παρεντίθεται κάθε φορά ἕνας διψήφιος ἀριθμός, σχετικὰ προβλέψιμος), τὸ ‘σχετικὰ’ δημιουργεῖ θέμα ἀνακρίβειας ἡ ὁποῖα μεγαλώνει μαζὶ μὲ τὸ βασικὸ ψηφίο (τὸ 2 ἐμφανίζει μία ἀνωμαλία στὴ δομή του, τὸ 4 φέρεται ἀπρόβλεπτα φορὲς φορές, τὸ 5 τρεῖς, τὸ 7 ὀκτὼ φορὲς καὶ τὸ 8 δέκα φορές), ἐνῶ καὶ οἱ διαφορὲς (ρυθμὸς αὔξησης) τῶν παρεντιθέμενων διψηφίων δὲν εἶναι σταθερές.

ΙV) Συμπεράσματα

Κατὲστη δυνατὸ νὰ διατυπωθοῦν μόνο δύο μνημονικοὶ κανόνες, εὐμνημόνευτοι καὶ εὔχρηστοι, ὥστε νὰ μποροῦν νὰ ἀποβοῦν χρήσιμοι σὲ ὅποιο ἄτομο καταπιαστεῖ μαζί τους.

Μνημονικὸς κανόνας τοῦ 1², 11², 111², …: Μετρᾶμε πόσους ἄσσους ἔχει ὁ ἀριθμὸς ποὺ θέλουμε νὰ ὑψώσουμε στὸ τετράγωνο (ἔστω 5 γιὰ τὸ 11,111) καὶ φτιάχνουμε ἕναν ἀριθμὸ ποὺ ἀρχίζει ἀπὸ τὸ 1, μετὰ τὸ 2, καὶ προσθέτουμε 1 κάθε φορὰ μέχρι νὰ φτάσουμε στὸ 5 καὶ μετὰ ἀφαιροῦμε 1 κάθε φορὰ μέχρι νὰ φτάσουμε στὸ 1.  Στὸ παράδειγμά μας, 12…54…1: 123,454,321.  Ὁ κανόνας αὐτὸς εἶναι ἁπλὸς καὶ εὔχρηστος καί, ἄρα, κατάλληλος γιὰ παιδιὰ ἀπὸ μέσα Δημοτικοῦ καὶ πέρα (ἂν παραβλέψουμε τὸ ‘τετράγωνο’ καὶ τὸ δοῦμε μόνον ὡς ‘πολλαπλασιασμὸ μὲ τὸν ἐαυτό του’) καὶ γιὰ τὰ παιδιὰ Γυμνασίου ὅπου ἐμπεδώνουν τὶς δυνάμεις.

Μνημονικὸς κανόνας τῶν 3², 33², 333², …, 6², 66², 666², … καὶ 9², 99², 999², …: Καθὼς τὰ τετράγωνα αὐτὰ ἀποτελοῦνται ἀπὸ μόνο 4 διαφορετικὰ ψηφία, ἀποκαλούμενα ἐδῶ Α, Β, Γ, καὶ Δ, τὰ ὁποῖα ὁρίζονται ἀπὸ τὶς σχέσεις Α=Β+1 καὶ Γ=Δ-1, ξεκινοῦμε ξέροντας ὅτι 3²=09, 6²=36 καὶ 9²=81, ὅπου καθορίζονται τὰ Β καὶ Δ καί, ἀπὸ αὐτά, τὰ Α καὶ Γ.  Προσθέτουμε τὸ Α καὶ τὸ Γ Χ-1 φορές, ἀπὸ τὸ διψήφιο τῆς κάθε ἀκολουθίας καὶ πέρα.  Ἔτσι, γιὰ τὸ 99,999 (Χ=5), ξεκινοῦμε ξέροντας ὅτι 9²=81, ἄρα Α=9, Β=8, Γ=0 καὶ Δ=1· 9999 (4 φορές), 8, 0000 (4 φορές) καὶ 1 δίνουν κάνουν 9,999,800,001.  Ὁ κανόνας ἐδῶ εἶναι πιὸ πολυσύνθετος καὶ ἀπαιτεῖ καλλιεργημένη παρατηρητικότητα, ὀξύνοια καὶ σχετικὰ δυνατὴ μνήμη.

Ὅσον ἀφορᾶ στὴ χρησιμότητα τῶν ἀκολουθιῶν καὶ τῶν μνημονικῶν κανόνων ποὺ ἐξήχθησαν, καθὼς δὲν ἀνευρέθη ἐφαρμογή τους σὲ κάποια πρακτικὴ πλευρὰ τῆς μαθηματικῆς ἐπιστήμης, αὐτὴ μᾶλλον ἔγκειται στὴ λογικὴ ποὺ ἐλπίζω ὅτι θὰ δοῦν οἱ μαθητὲς/ήτριες καὶ στὴν ὀμορφιὰ τῶν μαθηματικῶν ποὺ ἴσως τοὺς κεντρίσει τὴν περιέργεια νὰ ψάξουν λίγο περισσότερο καὶ νὰ μελετήσουν τὰ μαθηματικὰ προσεκτικότερα.

1. V) Θέματα γιὰ Περαιτέρω Ἔρευνα

Ἐδῶ παρατίθενται θέματα καὶ πεδία περαιτέρω ἔρευνας ποὺ δὲν καλύφθηκαν στὴν παροῦσα μελέτη λόγῳ τῶν περιορισμῶν τοῦ χρόνου καὶ τῆς ἔκτασής της καὶ τῆς ἀνεπάρκειας γνώσεών μου.

V.ι) Ἡ μελέτη τοῦ γιατί, πέραν τοῦ 1, μόνο τὰ 3, 6 καὶ 9 (τὰ ὁποῖα, ὅπως ἔχει ὑποδειχθεῖ, εἶναι καὶ τὰ μοναδικὰ μονοψήφια πολλαπλάσια τοῦ 3) βγάζουν στὶς δεδομένες ἀκολουθίες τετράγωνα ποὺ ὑπακούουν σὲ ἕνα καὶ εὐκολομνημόνευτο κανόνα εἶναι πέραν τῶν μαθηματικῶν μου ἰκανοτήτων!

V.ιι) Θὰ ἄξιζε νὰ διερευνηθεῖ τὸ κατὰ πόσον οἱ συγκεκριμένες ἀκολουθίες δείχνουν κάποια ἀνιχνεύσιμη – καὶ εὔκολα ἀπομνημονεύσιμη – λογικὴ στὸν κῦβο καὶ στὶς ἄλλες μεγαλύτερες δυνάμεις.

V.ιιι) Ἐπίσης, ἐνδιαφέρον θὰ ἦταν νὰ ἐρευνηθεῖ κατὰ πόσον ἀκολουθίες ἀριθμῶν ποὺ ἀποτελοῦνται ἀπὸ ἐπαναλαμβανόμενα ζεύγη ἀνόμοιων ψηφίων, π.χ.: 10, 1010, 101010, 10101010, θὰ μποροῦσαν νὰ ὑπακούουν σὲ κάτι ποὺ νὰ βοηθάει στὴν ἀπομνημόνευση.

Μία πρώτη πιθανὴ προσέγγιση πρὸς αὐτὴν τὴν κατεύθυνση θὰ ἦταν να ξεκινοῦσε ἡ ἔρευνα ἀπὸ τὶς ἀκολουθίες δυνάμεων τοῦ 3, π.χ., 27, 2727, 272727, …, 81, 8181, 818181, … καὶ πολλαπλασίων τοῦ 3, π.χ., 12, 1212, 121212, …, 15, 1515, 151515, …

ΠΗΓΕΣ

Carlson, Neil et al. (1984) “Psychology the Science of Behavior”, Pearson, Canada, United States of America. ISBN 978-0-205-64524-4

Eysenck, Michael (2012). Attention and Arousal : Cognition and Performance. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-642-68390-9. OCLC 858929786.

Putnam, Alan L. (2015). Mnemonics in Education: Current Research and Applications, in pdfs.semanticscholar.org/8212/c386502bbb57fac01e6676e39e1717b68edf.pdf

Sherwood, Lauralee (1 January 2015). Human Physiology: From Cells to Systems. Cengage Learning. ISBN 978-1-305-44551-2.

University of Central Florida, 9 Types of Mnemonics for Better Memory, www.edubloxtutor.com/memory-techniques-not-answer-memory-challenges/

www.seattleu.edu/media/learning-assistance-programs/files/9-Types-of-Mnemonics-for-Better-Memorya4b4.pdf

www.youtube.com/watch?v=idlBj5sivrQ

^